Özet:
Bu tezde, parçalanış teorisi ile geçmişten günümüze bilim insanlarının ilgisini çekmiş Fibonacci sayıları arasında bir bağlantı kurulmuştur. Parçalanış teorisinin temeli olan pozitif tamsayıların parçalanışı ve kompozisyonları detaylı bir şekilde incelenmiştir. Özellikle bu çalışmada, parçalanışlar ve kompozisyonlar için kümeler tanımlanıp bu kümeler üzerinde yeni işlemler tanımlanmıştır. Bu işlemler yardımıyla ardışık pozitif tamsayıların kompozisyonları arasında bağıntılar kurulmuştur. Tanımlanan kümeler üzerinde cebirsel ve kombinatorik işlemler yapılarak kompozisyonlar için yeni bağıntılar elde edilmiştir. Bileşen sayısı kısıtlı parçalanışlar, bileşenleri tek tamsayı olan parçalanışlar, bileşenleri tek ve tekrarlanmayan tamsayılar olan parçalanışlar gibi özel durumlara sahip literatürdeki bazı parçalanışlar kompozisyon kavramı için de ayrıca incelenmiştir. Kompozisyonlar, kısıtlanmış kompozisyonlar ve tek kompozisyonlar olacak şekilde ayrıca incelenerek ilgili kompozisyonların sayıları için üreteç fonksiyonları bulunmuştur. Tek kompozisyonlar ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişki incelenmiştir. Günümüzde birçok matematikçinin ilgi odağı ve çalışma konusu olan parçalanış teorisi ve üreteç fonksiyonları yardımıyla, Fibonacci sayıları gibi birçok sayı dizisi üretilmiştir. Kompozisyonların bileşen büyüklüğüne sınırlandırma getirilmiş ve bu sınırlandırma ile kısıtlı kompozisyonların sayısı için üreteç fonksiyonu bulunmuştur. Bu üreteç fonksiyonu ile n-nacci sayıları üretilmiştir. Bu tez çalışmasında ayrıca, kompozisyonlar için bir renk kataloğu oluşturulmuş ve bu kataloğa bağlı kalınarak kompozisyonlar için desenler elde edilmiştir. Desenler elde edilirken de kompozisyonların bileşenleri için farklı kısıtlamalar getirilerek farklı desenler incelenmiştir. Ayrıca bu desenlerin sayıları için üreteç fonksiyonları bulunmuştur. Bulunan bu üreteç fonksiyonları ile literatüre yeni sayı dizileri kazandırılmıştır. Her bir pozitif tam sayının kompozisyon deseninin kendisinden bir fazla olan tamsayının kompozisyon deseninin içinde yer aldığı gözlemlenmiştir. Ardışık tam sayıların n-renk kompozisyon desenlerinin aralarında da altın oran olduğu gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu tezde elde edilen çalışmaların başta matematik olmak üzere fizik, hesaplamalı bilim ve mühendislik ve hatta mimari alanlarında kullanılma potansiyeli oldukça yüksektir.
