Özet:
Bu tezde lineer rekürans bağıntıları yardımıyla bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonları verilmiş ve bundan faydalanılarak bazı uygulamalar yapılmıştır. Üreteç fonksiyonları yardımıyla bazı özel sayı ve polinom ailelerinin özellikleri incelenmiş ve bunlar arasındaki bağıntılar ve formüller üzerine çalışılmıştır. Bu tez çalışmasında, iki sıfırın ve iki birin yan yana gelmemesi koşuluyla {0, 1, 2} kümesi üzerinde yazılabilecek tekrarlı s-li tüm permütasyonların sayısına karşılık gelen bir sayı dizisi ele alınmıştır. Charalambides (2002) tarafından verilen rekürans bağıntısı yardımıyla bu sayı dizisinin üreteç fonksiyonu üzerinde çalışılmıştır. Bu üreteç fonksiyonunun bazı özel fonksiyonlar ile ilişkileri verilmiştir. İlgili üreteç fonksiyonu yardımıyla Charalambides (2002) kitabındaki Problem 7.7.11 ile verilen homojen lineer rekürans bağıntısının çözümü de verilmiştir. Buna ek olarak, bu tez çalışmasında elde edilen bazı sonuçların Simsek (2023) tarafından verilmiş olan ve özellikle de Fibonacci tipli ve Lucas tipli sayı ve polinom ailelerini kapsayan bir polinom ailesi ile ilişkileri de elde edilmiştir. Aynı zamanda ilgili üreteç fonksiyonu ile yeni bir özel polinom ailesi tanımlanmış ve bu polinomların bazı temel özellikleri incelenmiştir. Bu özelliklerden bazıları kullanılarak, matematikte ve diğer uygulamalı bilimlerde kullanılabilecek birçok yeni formül elde edilmiştir. Bu polinomlara türev operatörü uygulanarak yeni formüller de elde edilmiştir. Ayrıca bu polinomlar için Riemann integral gösterimleri de verilmiştir. Elde edilen yeni sonuçlar birinci türden Stirling sayıları , ikinci türden Bernoulli polinomları (Cauchy sayıları), Fibonacci sayıları ve Pell sayıları gibi özel sayı ve polinomları içermektedir. Bu tez çalışmasında, tez kapsamında elde edilen sonuçlar hakkında karşılaştırmalı çok sayıda notlar verilmiş ve bunlara bağlı olarak da yorumlamalar yapılmıştır.
