Kesirli mertebeden lineer diferansiyel denklem ve sistemlerinin çözümleri için Lucas Kollokasyon yöntemi

Abstract

Bu tezde kesirli mertebeden lineer diferansiyel denklemleri ve denklem sistemlerini nümerik olarak çözmemize yardımcı olacak Lucas polinomları üzerine kurulmuş bir kollokasyon metodu kullanılır. Bu metotta ilk olarak, incelenen diferansiyel denklemin yaklaşık çözümü sınırlı sayıda terimi olan Lucas polinom serisi şeklinde kabul edilir. Lucas polinomların katsayıları bilinmeyen olarak belirlenir. Kesirli türevlerin hesaplanmasında Caputo kesirli türev kullanılır. Daha sonra, yaklaşık çözüm ve kollokasyon noktaları kullanılarak, incelenen denklem bilinmeyenleri Lucas katsayıları olan, matrislerle ifade edilebilen lineer cebirsel sisteme dönüştürülür. Son olarak, matris aritmetiği kullanılarak yaklaşık çözüm katsayıları bulunur. Nümerik örnekler üzerinde çalışılarak yöntemin sonuçlarının literatürdeki diğer çalışmaların sonuçları ile kıyaslanması sağlanır. Bu çalışmada, problemlerin çözümünde gama fonksiyonu, beta fonksiyonu ve kesirli türev tanımlarından yararlanılmıştır. Bu denklemler ile ilgili örnekler çok paradigmalı sayısal hesaplama yazılımı olan Matlab da yazılan kod ile çözülerek elde edilen sonuçlar için grafik ve tablolar hazırlanarak kullanılan yöntemin yeterli hassasiyeti olduğu gözlemlenir. Ayrıca sonuçlar başka yöntemlerin sonuçları ile karşılaştırılır ve karşılaştırmalardan yöntemin iyi sonuçlar verdiği görülmektedir.