Özet:
Bu tezde, olasılık ve istatistikte çok önemli bir yer tutan üreteç fonksiyonları ve kombinatorik toplamlar ve bunlarla ilgili uygulamalar çalışılmıştır. Binom katsayılarını içeren kombinatorik toplamlar verilmiştir. Bu toplamların bazı özel sayılar ile ilişkileri incelenmiştir. Bu tezde verilen sonuçlar hem matematik, olasılık ve istatistik alanlarına hem de diğer alanlara katkı sağlayacaktır. Bu tezde kullanılan bazı özel sayılar ile kombinatorik toplamlar arasındaki formüller ve ilişkiler verilmiştir. Örneğin; 1. ve 2. tür Stirling sayıları, Bernoulli sayılar, Euler sayıları, Bell sayıları, Fibonacci sayıları ve Catalan sayıları vb. gibi sayılarla ilgili özdeşlikler elde edilmiştir. Bu tezde, Bernstein baz fonksiyonlarından üretilen Catalan sayılarını içeren formüller kullanılarak, birçok kombinatorik toplam bulunmuştur. Dahası Lagrange inversiyon formülünü ve Stirling sayılarının üreteç fonksiyonları yardımıyla, Stirling sayıları ve negatif üslü Bernoulli sayılarını içeren özdeşlikler elde edilmiştir.
