Asal ve eşasal altmoleküller yardımıyla modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesi

Abstract

Bu tezin amacı, eşasal altmodüllerin ve bu altmodüller yardımıyla tanımlanan bazı kavramların, modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesinde nasıl kullanılabileceklerini ve bilinen modül sınıfları ile olan ilişkilerini araştırmaktır. Birinci bölümde, halka ve modül kuramına ilişkin tez çalışmamızın sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı önbilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, literatürde eşasal altmodüllere ilişkin yer alan bazı sonuçlar verilmiştir. İkinci bölümden sonra gelen üç bölüm, tamamen özgün olacak şekilde düzenlenmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak değişmesiz halkalar üzerindeki eşasal modüllerin bazı karakterizasyonları verilmiş ve farklı modül sınıfları ile olan ilişkileri araştırılmıştır. Daha sonra, bir modülün eşasal bölüm modüllerinden yararlanılarak bu modülün ekli asalları ile ilgili birtakım sonuçlar elde edilmiştir. Son olarak, eşasal modül kavramı ile dar boyut kavramı arasındaki ilişkiler araştırılmış ve eşasal modül kavramından yararlanılarak max özelliğine sahip olan modüller için birtakım sonuçlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, eşasal radikal kavramı ele alınmış ve bu kavramdan yararlanılarak modüller ve halkalar için bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bu bölümde halkalardaki m-sistem kavramının modüller için duali olan m^{∗}-sistem kavramı ortaya atılmış ve bir altmodülün eşasal radikali m^{∗}-sistem kümeleri vasıtasıyla karakterize edilmiştir. Bunun yanısıra, bir modülün sokulu ile eşasal radikalinin ne zaman eşit olacağı sorusu ele alınmış ve bir halka üzerindeki her modülün bu eşitliği sağlamasının halka için ne anlama geldiği araştırılmıştır. Ayrıca belirli modüllerin eşasal radikallerinden yararlanılarak, basit halkaların ve sağ Artin halkaların bazı karakterizasyonları verilmiştir. Beşinci bölümde, aşamalı halkalar üzerinde aşamalı eşasal ve eşasalımsı altmodül kavramları tanımlanmış ve bu altmodüllerin karakterizasyonlarına yer verilmiştir. Ayrıca değişmeli bir aşamalı Noether halka üzerindeki her aşamalı injektif modülün bir aşamalı sekonder gösterime sahip olduğu kanıtlanmıştır.