Sınırlı dağılımlı örgüler, Priestley uzayları ve onların arasındaki dual kategorik denklikler

Abstract

Bu tez çalışmasında, kategori teorisi baz alınarak ağırlıklı olarak iki konu üzerinde durulmuştur. Bu konular "Priestley Dualitesi" ve "Priestley Dualitesinin Bir Genişlemesi" başlıkları altında ele alınmıştır. Priestley dualitesi, sınırlı ve dağılımlı örgülerin kategorisi ile Priestley uzaylarının kategorisinin denk kategoriler olduğunu ifade eder. Bunu yaparken denk izleç (equivalence functor) denilen bir çeşit kategorik fonksiyonlardan yararlanılmıştır. Bu izleçler tez içerisinde açıkça ifade edilmiştir. Bu şekilde; Stone cebirleri, Kleene cebirleri, Ockham cebirleri, De Morgan cebirleri, Wajsberg cebirleri gibi bir çok alanda matematiğe katkı sağladığı görülen örgü teorisinin geliştirilmesine katkı sağlanması amaçlanmıştır. Bu alanda özellikle 1970'li yılların başlarında Hilary Priestley'in yaptığı çalışmalar oldukça ünlüdür. Priestley Dualitesinin Bir Genişlemesi başlığı altında ise aslında Priestley dualitesinin bir genellemesi aynı yöntemle formülüze edilmiştir. Bu genellemeyi vermemizin sebebi; Priestley dualitesinin çok fazla koşul içermesidir. Çünkü matematikte böyle yapılar her zaman bulunamayabilir. Bunu yaparken de örgü homomorfizmlerini bitişme koruyan fonksiyonlar ve sürekli ve sıra-korur fonksiyonları ise Priestley bağıntıları olarak genişlettik. Bu genellemeyi vermemizin tek sebebi Priestley dualitesinin yapısı değildir. Bu dualiteden yararlanılarak, Halmos-Wright dualitesi denilen, Boole cebirlerinin bir genişletilmiş kategorisi için bir dualite formülüze edilmiştir. Ayrıca, Boole cebirlerinin kategorisi ile Stone uzaylarının kategorisi arasında bir dual denklik ifade eden meşhur Stone dualitesi, Priestley dualitesinin bir sonucu olarak elde edilmiştir.