Türev ve fark operatörlerinin dizi ve seri analizindeki uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışması, sırasıyla analizin ve ayrık matematiğin önemli araçlarından olan türev ve fark operatörlerinin, özellikle sayılar teorisi alanında öne çıkan özel polinom ve sayı aileleri ile özel fonksiyonlara uygulanmasını amaçlamaktadır. Öncelikle üzerinde çalışılacak olan özel sayı ve polinom aileleri ile özel fonksiyonlar kombinatorik ve analitik ifadeleri ile tanıtılmaktadır. Daha sonra bunların analizinde kullanılan operatörler, tanımları, örnekleri ve temel özellikleri ile açıklanmaktadır. Sonrasında ise çalışmamız açısından önemli görülen literatürdeki bazı sonuçlar, detaylı bir şekilde verilmektedir. Bulgular bölümünde ise temel operatörler için biraz daha genel sonuçlar elde edilmektedir. Bu sonuçların harmonik ve hiperharmonik sayılar ile Fibonacci sayılarına uygulanmasıyla, hem bu sayılar hem de bu sayıları içeren toplamlar ile ilgili yeni sonuçlar elde edilmektedir. Literatürde yer alan bazı özdeşliklerin de farklı kanıtları verilmektedir. Ayrıca hem negatif mertebeli hiperharmonik sayılar hem de negatif indisli Fibobacci sayıları tanımlanarak bu tanımların neden "doğal" tanımlar oldukları açıklanmaktadır. Son olarak karmaşık analiz ve sayılar teorisi alanlarının her ikisi açısından önem teşkil eden digamma fonksiyonu operatörler yardımı ile analiz edilmektedir.