Pozitif tamsayılarda Mac Mahon parçalanma analizi

Abstract

Bu yüksek lisans tezinin amacı parçalanış teorisini ve Mac Mahon parçalanma analizini inceleyerek parçalanış teorisine yeni sonuçlar ile katkı sağlamaktır. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, parçalanış teorisinin tarihsel başalangıcını içeren bilgiler verilmiştir. İkinci bölümün, ilk kısmında parçalanış teorisinden bahsedilerek bazı temel problemleri ispatsız olarak ele alınmıştır. Ayrıca serbest parçalanıştan bahsedilmiş, parçala-nışların geometrik gösterimi hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra parçalanış teorisi için önemli bağıntılardan biri olan Jacobi Üçlü Çarpım Özdeşliği ve ispatı verilmiştir. Tamsayıların parçalanışları için üreteç fonksiyonlarından bahsedilmiş, p(n) için üreteç fonksiyonu verildikten sonra Q(n) ve Z(n)'in üreteç fonksiyonları ispatsız olarak verilmiştir. Çalışmaların devamında beşgensel sayıların tanımı verilerek beşgensel sayılar ile parçalanış arasındaki bağıntıya değinilmiştir. Ayrıca Euler'in Beşgensel Sayı Teoremi ve ispatı verilmekle birlikte Euler'in beşgensel sayı teoreminin kombinatorik ispatına da değinilmiştir. Euler'in parçalanış için özyineleme formülü ve ispatına da bu bölümde verilmiştir. Üçüncü bölüme, Mac Mahon parçalanma analizini anlamakta önemli bir yere sahip olan Ω_{≥} operatörünün tanımı ve özellikleri ile başlanmıştır. Daha sonra Mac Mahon parçalanma analizinin temel özelliklerinin incelenip araştırılmasıyla devam edilmiştir. Dördüncü bölümde, k-gensel sayılar tanımlanarak, çokgensel sayılar için Jacobi Özdeşliği verilmiştir. Daha sonra beşgensel ve altıgensel sayılar ile beşgensel ve yedigensel sayılar arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Çalışmalara Jacobi Üçlü Çarpım Özdeşliğinin bazı özellikleri verilerek devam edilmiştir. Son olarak Q(n) ile p(n), p(n) ile Z(n) ve Q(n) ile Z(n) arasında yeni bağıntılar elde edilmiştir. Son bölümde, yeni bulunan yineleme formülleri Euler'in ve Ewell'in yineleme formülleri ile karılaştırılmıştır.