3- boyutlu dinamik sistemlerin eşdeğerlik problemi

Abstract

Bu tez çalışmasında 3-boyutlu bir manifold üzerinde tanımlı bir otonom dinamik sistem için yerel eşdeğerlik problemi Cartan'ın eşdeğerlik metodu kullanılarak ele alınmıştır. Otonom dinamik sistemler için eşdeğerlik probleminin çözümü, dinamik sistemin integral eğrisi yönündeki diferensiyel 1-formun integre edilip edilememesiyle belirlenen iki dala ayrılmıştır. İntegre edilebilir durum için genişletilmiş herhangi iki analitik eşçatının ve dolayısıyla genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği ispatlanmıştır. İntegre edilemez durumunda ise yine genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği gösterilmiştir. İntegre edilemez durum için problem taban manifoldu üzerine indirgenerek, problemin temel yapı invaryantlarının sayısının ve integral eğrisi üzerindeki koordinata bağlılığının dinamik sistemi belirleyen vektör alanının diverjasının sıfır olup olmamasına göre belirlendiği ispatlanmıştır. Diverjansı sıfır olan bir vektör alanı için taban manifoldu üzerinde bileşenleri Hamiltonyenlerin fonksiyonlarına karşılık gelen bir flat konneksiyon tanımlanmıştır. Buna göre problemin temel yapı invaryantlarının ve onların eşçatı türevlerinin dinamik sistemin akış eğrisi boyunca değişmediği, diğer bir ifadeyle, Hamiltonyenler cinsinden yazılabileceği gösterilmiş ve dolayısıyla iki dinamik sistemin eşdeğer olabilmesi için gerek ve yeter şartların sadece Hamiltonyen fonksiyonlarına bağlı olarak belirleneceği gösterilmiştir. Diverjansın sıfırdan farklı olduğu durumda da taban manifoldu üzerinde bir flat konneksiyon elde edilmiş ve problemi temsil eden eşçatının yapı denklemleri hesaplanmıştır. Yapı invaryantlarının tamamının sıfır olması durumunda ise yapı denklemleriyle belirlenen Lie cebiri Heisenberg cebirine izomorfik olduğu ve dolayısıyla problemin tanımlandığı manifoldun yerel olarak Heisenberg grubu olduğu görülmüştür.