Tedirginme kuramının minimum eylem ilkesinden türetilmesi ve harmonik olmayan salınıcının tekil tedirginme kuramı ile 1. ve 2. basamaktan tedirginmiş çözümleri

Abstract

edirginine yöntemi tam olarak çözülemeyen problemleri yaklaşık olarak çözmek için geliştirilmiştir. Kuantum mekaniğindeki çizgisel dalga denklemlerinin çözümünde bu yöntemi türetmek için özdeğeri bulunacak işlemci iki parçaya ayrılır. Bu parçalardan birisinin özdeğeri ve özvektörleri bilinmektedir, ikinci parçanın özdeğer ve özvektöriere katkısını bulabilmek için aranılan özvektörler, bilinenlerin bir serisi olarak yazdır ve buradan özdeğer ve özvektörler basamak basamak yaklaşık olarak bulunur. Çalışmanın ikinci bölümünde farklı bir yol izlenmiştir. Bu yöntemde, dalga denklemi yerine Euler-Lagrange denklemlerini veren eylemden yola çıkılmıştır. Bu durumda dalga denklemini çözme problemi yerine, verilen eylem ifadesini minimum yapan fonksiyonları bulma problemine bakılır. Bu fonksiyonlar,. çözümleri bilinen fonksiyonların serisi olarak seçilmiş ve basamak basamak eylemin minimum yapılması tartışılarak tedirginine kuramındaki birinci ve ikinci basamaktan çözümlerin ifadeleri yeniden türetilmiştir. Yöntem kolayca çizgisel olmayan problemlere genelleştirilebilir. (Açıkgöz vd 1995), (Barut ve Ünal 1990), (Barut vd 1992). Bölüm (3.3) de son yıllarda positronyum probleminin enerji düzeylerinin hesabı için önerilmiş olan tekil tedirginme kuramı, harmonik olmayan salınıcı problemine uygulanmıştır. Bölüm (3.1) de yeni bir türetilişi verilmiş olan standart tedirginme kuranımda tedirginmiş problemin çözümü olacak olan fonksiyonlar, çözümü bilinen tedirginmemiş problemin fonksiyonlarının sonsuz serisi olarak ifade edilmiştir. Bu bölümde harmonik olmayan salıncaya uyguladığımız tekil tedirginme kuranımda ise tedirginmiş ve tedirginmemiş problemin çözümleri aynı fonksiyonlarla ifade edilir. Örneğin harmonik olmayan salıncanın çözümü, tedirginmemiş problem olan harmonik salıma ile aynı fonksiyonlara sahip olacaktır. Burada kullanılan fonksiyonlar çizgisel diferansiyel denklemlerin çözümleridir. Çizgisel diferansiyel denklemler katsayılarının tanımlı olmadığı noktalarda tekildir. 31Bazı problemlerde örneğin harmonik olmayan salınıcı, (hidrojen atomunda olduğu gibi) tedirginine terimleri denklemin bazı noktalardaki tekilliklerinin derecesini artırır. Bu nedenle tedirginmiş problemin çözümü olan fonksiyonların bağımsız değişkenleri uygun derecede daha çok tekilleştirilir. Böylece problem tekillik artışı için uygun derecenin ne olduğunun bulunmasına dönüştürülür. Burada incelenilen harmonik olmayan salıma diferansiyel denklemindeki potansiyelin x4 lü teriminden dolayı 8. dereceden, harmonik salınıcı diferansiyel denklemindeki potansiyelin x2 li teriminden dolayı 6. dereceden tekilliğe sahiptir. Bu yöntem ile tedirginmiş problemin yaklaşık özfonksiyonlar standart yöntemle bulunan fonksiyonların serisel ifadelerinin toplamı olduğu ve iki halde de özdeğerlerin eşdeğer olduğu gösterilmiştir.