Diferansiyel, fonksiyonel diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemler ve sistemleri için galerkin-tipi bir sayısal yöntem

Abstract

Bu tez, en geniş şekliyle, temel bilimlerde ve mühendislikte karşılaşılan çeşitli problemlerin sayısal çözümlerini elde etmekle ilgilenmektedir. Bu sayısal çözümleri elde etmekte kullanılan yöntem, ilgili denklemin belirli test fonkiyonlarıyla çarpılıp integre edilmesi esasına dayanan Galerkin ayrıştırmasından yararlanır. Bu yöntemde, yaklaşık çözüm, derecesi belli bir N sayısı olan bir polinom şeklinde aranmış, bu amaçla söz konusu test fonksiyonları kümesi {1,x,x^2,...,x^N} şeklindeki klasik polinom tabanı olarak belirlenmiştir. Çeşitli adi diferansiyel, gecikmeli diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemler ve bunların sistemlerine yöntemin nasıl uygulanacağı ayrı ayrı ve detaylı olarak açıklanmış, ardından yöntem her problem tipi için bir ya da iki örnek problem üzerinde test edilmiştir. Bu testlerden elde edilen sonuçlar kendi aralarında ve mümkün olduğu durumlarda diğer sayısal yöntemlerden elde edilen sonuçlarla kıyaslanmıştır. Sonrasında, yöntemin ilk hâliyle kısmi diferansiyel denklemlere uygulanamaması ve N değerini arttırmanın yakınsamayı garanti etmemesi gibi bazı eksik yönlerinden söz edilmiş, bu eksikliklerin giderilmesi için çeşitli öneriler getirilmiş ve bu öneriler örnek problemler üzerinde uygulanmıştır. Bu uygulamalar sonucunda, yöntemin daha iyi sonuçlar verdiği görülmüş; bu durum, bu çalışmanın özgün yanını ortaya koymuştur. Son olarak, elde edilmiş bir yaklaşık çözümün kalıntısı vasıtasıyla bu çözümün hatasını tahmin etmeye olanak tanıyan bir teknik ele alınmış ve söz konusu çözümü iyileştirmek için kullanılmıştır.