Abstract:
Laplace diferansiyel operatörü diye adlandırılan Δ=((∂²)/(∂x₁²))+((∂²)/(∂x₂²))+⋅⋅⋅+((∂²)/(∂x_{n}²)) diferansiyel operatörü, matematiğin en ünlü diferansiyel operatörlerinden biridir. Örne-ğin, n boyutlu Euclid uzayı ℝⁿ'de klasik dalga denklemi ve ısı geçirme denklemi bu diferansiyel oparatör yardımıyla ifade edilir. Bu tez çalışmasında üzerinde çalışılan konu, Laplace diferansiyel operatörü ile singüler Bessel diferansiyel operatörünün toplamı olarak ortaya çıkan ve Laplace-Bessel diferansiyel operatörü diye adlandırılan hibrit bir diferansiyel operatörün doğurduğu ve Fourier-Bessel Harmonik Analiz denilen harmonik analiz ile ilgilidir. 1950'li yıllardan sonra gelişmeye başlayan Fourier-Bessel Harmonik Analiz'in en önemli vasıtalarından biri de, Bessel kayması (genelleşmiş kayma) ile ilişkilendirilen Riesz potansiyelleri olmuştur. Klasik Fourier Harmonik Analizinde Riesz potansiyellerinin oynadığı rolü Fourier-Bessel Harmonik Analizinde genelleşmiş Riesz potansiyelleri üstlenmektedir. Fourier-Bessel Harmonik Analizinin önemli teknik araçlarından biri olan genelleş-miş Riesz potansiyellerinin ele alındığı bu tez çalışmasının esas amacı, söz konusu potansiyeller ve onların tersleri için yeni gösterim vermek ve bu potansiyellerin doğurduğu uzaylar için bir karakterizasyon sunmaktır. Bunun için, öncelikle Abel-Poisson ve Gauss-Weierstrass yarı gruplarının ikisini de genelleyen yeni bir yarı grup tanımlanmış ve bu yarı grup yardımıyla genelleşmiş Riesz potansiyelleri için bir boyutlu yeni bir integral göste-rimi verilmiştir. Bir dalgacık tipli dönüşüm tanımlanarak, ters bulma formülü elde edilmiş ve bu potansiyellerin tersi bulunmuştur. Bundan başka, değişkenlerden yalnız birine değil, birkaçına genelleşmiş kayma uygulanarak ortaya çıkan genelleşmiş Riesz potansiyelleri için yeni bir gösterim daha sunulmuş ve son olarak da bu potansiyellerin doğurduğu uzayın karakterizasyonu (nitelendirilmesi) verilmiştir.
