Birimli halka üzerinde asal ideal ve asal alt modül yardımıyla halka ve modül karakterizasyonu

Abstract

Bu tezin amacı, asal idealler ile asal alt modüllerin ve bunlar yardımıyla tanımlanan bazı kavramların, modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesinde nasıl kullanılabileceklerini ve bilinen modül sınıfları ile olan ilişkilerini araştırmaktır. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, cebirin ve tezde kullanılan kavramların tarihsel süreci ve neden bu konuda çalışıldığı açıklanmıştır. İkinci bölümde, tez boyunca kullanılan halka ve modül teorisine ilişkin çalışmamızın sonraki bölümünde kullanılacak olan temel bilgiler ve önemli sonuçlar verilmiştir. İkinci bölümden sonraki bölüm tamamen özgün çalışmalardan oluşmaktadır. Üçüncü bölümde, radikal formül başlığı altında, değişmesiz halka üzerinde radikal formülü sağlayan bazı sol modül sınıfları bulunmuş ve belli bir koşul altında Dedekind bölgesinin genellemesi olan HNP-halkası üzerinde sonlu üretilmiş bir modülün hem radikal formülü sağladığı hem de bu modülün CS-modül ile burulmalı modülün direkt toplamı şeklinde ifade edilebildiği gösterilmiştir. Sol O-asal ideal başlığı altında, değişmesiz halka teorisinde asal ideal kavramının bir genellemesi olan sol O-asal ideal üzerine odaklanılmıştır. Sol O-asal ideal sınıfının bazı temel özellikleri verilmiş, bu ideal sınıfı ile değişmeli halka teorisindeki karşılığı arasındaki farklılıklara ve benzerliklere dikkat çekilmiştir. Sonuç olarak sol O-asal idealler için Cohen teoreminin değişmesiz halka teorisindeki bir genellemesi verilmiş ve sol O-radikal idealler üzerinde artan zincir koşulunu sağlayan R halkasındaki sol idealin, R'nin sonlu tane sol O-asal idealinin kesişimi olduğu gösterilmiştir. O-asal alt modül başlığı altında, sol O-asal idealin modül versiyonu ve asal alt modülün bir genellemesi olan O-asal alt modül kavramı tanıtılmıştır. Literatürden iyi bilindiği gibi, M modülünün P alt modülü asal alt modül iken (P:M)'nin R halkasının asal ideali olması özelliği modül teoride önemli bir yer tutar. Fakat bunun tersi genelde doğru değildir. Bu tezde O-asal alt modüller için bu gerektirmenin tersinin de doğru olduğu bir özellik verilmiştir. Aynı zamanda modülün güçlü nilpotent elemanları ile tüm O-asal alt modüllerinin kesişimi arasındaki ilişkiler incelenmiştir. İdeallerle ilişkili Zariski alt uzay topolojileri başlığı altında, değişmeli R halkasının I ideali ile ilişkili olan tümleyen Zariski topolojisi X_{I} tanımlanmış ve bu topolojinin yarı-kompakt veya Noetherian olması için bazı gerekli ve yeterli cebirsel koşullar elde edilmiştir. Radikal idealin bir genellemesi olan, I idealini kapsamayan fakat 0 idealini kapsayan ideallerin kesişimi olarak tanımlanan N_{I}(0) idealinin asallığı ile X_{I} topolojisinin indirgenemezliğinin denk olduğu gösterilmiştir. Hem Zariski topolojisinin alt uzayları hem de halkalar için bazı karakterizasyonlar elde etmemize yardımcı olan cebirsel ve topolojik özellikler bulmak için halkanın idealleri ile tümleyen Zariski topolojileri arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Sonuç olarak Zariski topolojisinin sonlu tane indirgenemez açık alt kümelerinin birleşimi biçiminde ifade edilmesiyle N_{I_{i}}(0)'ın, R'nin asal ideali ve R halkasının bazı I_{i} ideallerinin sonlu bir toplamı şeklinde yazılabilmesinin denk olduğu gösterilmiştir. Modül üzerinde bazı topolojilerin yapısı başlığı altında, değişmeli halka üzerinde M modülünün bölüm modülü üzerinde dual Zariski topolojisi kullanılarak M modülü üzerinde bazı topolojiler ve bu topolojiler arasında sürekli bir fonksiyon tanımlanmıştır. M'nin bölüm modülü üzerinde dual Zariski topolojisine homeomorf olan M üzerinde bir topoloji bulunmuştur. Dördüncü bölümde, bu çalışmanın sonuçları özetlenmiş, literatürdeki yeri vurgulanmış ve ileride çalışılması düşünülen konular belirtilmiştir.