Bir grup ile modül ve halka karakterizasyonu

Abstract

Bu tezin amacı, değişmeli bir halka üzerinde tanımlı bir modülü, modülün endomorfizma halkası yardımıyla, sonlu bir grup üzerinde tanımlı grup halkasının bir modülü yapmamızı sağlayan bir yapı geliştirmektir ve bu yapı sayesinde tanımlanan kavramlarla modül ve halka karakterizasyonları ile özel tanımlı bazı modül sınıflarının birbirleriyle karşılıklı ilişkilerini belirlemektir. Ayrıca, grup modüllerin altmodül karakterizasyonunu ve altmodüllerine ayrışımını tespit etmektir. Tezimizdeki özgün çalışmaların anlatıldığı tartışma-bulgular bölümü ise üç altbölümden oluşmaktadır."Sonlu Grup Üzerinde Tanımlı RG--Modüller, Maschke Teoremi" başlığı altında, tezimizin ilk temel amacı olan, değişmeli bir halka üzerinde tanımlı bir modülü, modülün endomorfizma halkası yardımıyla, sonlu bir grup üzerinde tanımlı grup halkasının bir modülü yapmamızı sağlayan yapı anlatılmıştır ve bu yapı ile ilgili örnekler verilmiştir. Daha sonra, bu yapı sayesinde modüllerin, halkanın ve grup halkasının modülleri olarak, radikalleri arasındaki ilişkiler incelenmiş; injektiflik ve projektiflikleri ile ilgili karakterizasyonları yapılmıştır. Son olarak, modüllerin injektiflik ile ilgili karakterizasyonları yardımıyla Maschke Teoremi için alternatif bir ispat verilmiştir. "Sonlu Grup Üzerinde Tanımlı RG--Modüllerin Sokulu" başlığı altında, halkanın ve grup halkasının modülleri olarak, modüllerin basit altmodülleri ve sokulları arasındaki ilişkiler geliştirdiğimiz yapı sayesinde incelenmiştir. Son olarak, grup modüllerin altmodül karakterizasyonları belirlenmiştir. Ayrıca, grup modüllerin altmodüllerine ayrışımı, grup halkalarının althalkalarına ayrışımında kullanılan kavramlar grup modüllere uyarlanarak grup modüller üzerinde elde edilen yeni ve benzer kavramlar yardımıyla yapılmıştır.